モンテカルロ法

1. シミュレーション(simulation)とは

　シミュレーションという言葉自体は，現在だれもが使う言葉となっている．

(注:「シュミレーション」　と間違えている人が時々いるが，とても恥ずかしい)

　もともとの英語では，「…の真似をする」という意味から，現在では軍事・経済・政治・
物理など様々な現象にたいしてモデルを構築し，コンピュータによる模擬実験を行い，
変化を予測することを指す言葉となった．

　通常は，理論式がわからない，あるいは理論式があっても複雑すぎて解くことができ
ないような自然現象一般に対して，その現象をどうしても解きたいときにシミュレーション
手法を用いる．例えば，ビル崩壊のメカニズムの解析など，複雑な物理現象がどのよう
に発生したかを推測するために用いたりする．

　シミュレーションといえども，対象とする現象を正しく真似できなければ，間違った答
を導いてしまう．シミュレーションを行う際には，シミュレーションに用いる入力が適切
か，その入力を処理するモデルが適切か，十分検討する必要がある．

図 1 入力→変換(モデル)→出力

2. モンテカルロ法とシステマティック法

　シミュレーション手法は，大きくモンテカルロシミュレーションとシステマティックシミュ
レーションに分けることができる．他にも数値シミュレーションか非数値シミュレーショ
ンかなどいくつか分類の切り口があり，また実際に用いられる手法はこれらを巧みに
組み合わせて使うことも多い．ある手法を単純に分類することはできない場合もある．

　シミュレーション手法の中でも特に有名なモンテカルロ法とは，シミュレーション対象の
現象に対して，その入力に大量の乱数を十分与えて出力値を観測することで，その現象
を確率的に解いてみる手法である．乱数を用いることから，賭け事の街として有名な
モナコの都市モンテカルロの名がつけられた．乱数は，シミュレーション対象の自然現象
への入力として最もふさわしい確率分布，例えば一様分布など，に従う必要がある．
　それに対してシステマティック法では，乱数は使わずに，決定的に(ただ一回の計算で)
解を求める．

例　円周率を求める

　モンテカルロシミュレーションの説明によく使われる例として，円周率の計算がある．

図2 円と正方形の面積比

円の面積はπ×r×rである．その円に外接する正方形の面積は4×r×rである．ここで
正方形の面積を基準としてこの円との面積比をaとすると　a = (π×r×r)/(4×r×r)となる．
　この式を変形すると，

π=4×a

のような式が得られる．つまり，なんとかしてaの値さえ推定できれば，この式から円周率を
推定できる．

モンテカルロ法を使ってaの推定を行う場合は，次のように考える．

　図2のランダム(でたらめ)な場所に点をたくさん打つとする．例えば全部でN個の点を
打ったとして，その中で円の中に打たれた点の数を数える．これをnとする．Nを十分大き
くしていけばnとNの比は，円と正方形の面積の比に近づくはずである．つまりあるNに対し
て実際にnの値を測定することで

a = n/N

としてaを推定することができる．

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余談

一方，システマティック法の場合は，次のように考える．モンテカルロ法と異なり，乱数を
用いない．この場合は，ランダムな位置に点を打つのではなく，正方形の中をきっちり格子
上にわけて，点を打つ．つまりN個の点を打つ場合は，1辺を√N個に分けて桝目を作る．
あとはモンテカルロ法の場合と同様に，円内の点の数を数え，面積比n/Nを計算する．

余談ここまで

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図3 モンテ カルロシミュレーションによる円と正方形の面積比の求め方

3. 演習課題

モンテカルロ法に従って，円周率を求めよ．中心の座標を(0,0)として半径1の円と
それに外接する1辺が2の大きさの正方形を考えた場合の手順を示す．これに従うこと．

(1) シート上に[-1,1]の範囲の乱数を2組10個づつ，計20個生成せよ．

　　ヒント:　乱数を生成するExcelの関数がある．ヘルプを活用して関数を探すこと．
　　ヒント:　[-1,1]の範囲の乱数は，0から2の乱数を生成し，1を引けば作ることができる．

(2) 上記2組の乱数を(x,y)として10個の座標だと考える．
その10個の座標中に，中心(0,0)，半径1の円の中の個数を数えよ．
この円の式は　x×x + y×y = 1　である．

　　ヒント:　if関数を使って(x,y)が円の中かどうか判定し，TRUEかFALSEを値とせよ．
　　ヒント:　あるセル範囲の中の，特定の値(例えばTRUE)の数を数えるExcel関数がある．

(3)　円の面積と，円に外接する正方形の面積の比 a を求めよ．

　　ヒント:　円内に入っている数と，全部の比を求める．上記の説明のところを参照．

(4) 円周率を求めよ．

　　ヒント:　上記の説明のところにずばり求め方が書いてある．

(5) 乱数の数を50,100,500,1000,5000,10000と順次増やして，同様に円周率を求めよ．

(6) 乱数の数と，求めた円周率のグラフを作成せよ．

　　ヒント:　徐々に3.141592…に近づく数をグラフにする場合，グラフの種類には何が
が適切か．

(7) 自分の考察に必要な，その他の計算．